公式不是一張要死背的表，是一張族譜：誰生出誰、誰是誰倒著讀，看懂關係就記住了。這裡有 20 個會考常用公式，分成六個家族。每個公式都有三件套——由來一句、畫面或故事鉤、最常寫錯點——最後挖空一塊讓你先想再翻開（不計分，錯了也沒人知道，放心猜）。
這一族是全房子的第一名：三個公式長得很像，其實是一家人——看懂它們怎麼互相變形，再把方向倒過來，就是因式分解。
(a＋b)² ＝ a²＋2ab＋b²
由來：把 (a＋b) 乘以自己，一項一項乘開，中間那項會出現兩次，所以是 2ab 不是 ab。
畫面：想一塊邊長 (a＋b) 的正方形地毯：切成 a²、b² 兩塊正方形，和兩塊一樣的長方形 ab——四塊拼起來就是它。
最常寫錯：最常把中間項漏掉，寫成 a²＋b²。用 a＝5、b＝3 驗：左邊 64，漏掉中間項只有 34，差很多。
挖空自測：(a＋b)² ＝ a²＋ □ ＋b²，□ 是？
答案：2ab（a＝5、b＝3 時是 30，25＋30＋9＝64＝8²）
(a−b)² ＝ a²−2ab＋b²
由來：它是和的平方的雙胞胎：把 b 換成 −b 代進去，中間項變負、最後一項平方後還是正。
畫面：零用錢先花掉 b 元的概念：(a−b) 是剩下的錢，平方後最後的 b² 不會變負數，因為「負負得正」。
最常寫錯：把最後一項寫成 −b²。用 a＝5、b＝3 驗：左邊 (5−3)²＝4，正確展開 25−30＋9＝4；寫成 −9 就變 −14。
挖空自測：(a−b)² ＝ a²− □ ＋b²，□ 是？
答案：2ab
(a＋b)(a−b) ＝ a²−b²
由來：乘開時中間的 ＋ab 和 −ab 剛好抵消，只剩下頭尾兩項的平方相減。
畫面：速算神器：98×102 看成 (100−2)(100＋2)＝100²−2²＝10000−4＝9996，比直式乘法快得多。
最常寫錯：把結果寫成 (a−b)²。用 a＝5、b＝3 驗：左邊 8×2＝16，a²−b²＝25−9＝16；(a−b)² 只有 4。
挖空自測：(a＋b)(a−b) ＝ a²− □，□ 是？
答案：b²
a²−b² ＝ (a＋b)(a−b)
由來：同一條公式倒著讀：看到「平方減平方」，就拆成「和乘以差」。
畫面：x²−9 就是 x²−3²：腦中把 9 先看成 3²，公式自己會跳出來，答案 (x＋3)(x−3)。
最常寫錯：把 a²−b² 拆成 (a−b)² 或 (a−b)(a−b)。記住反向鏈的形狀是「一加一減」兩個括號。
挖空自測：x²−16 ＝ (x＋ □ )(x− □ )，□ 是？
答案：4（16 是 4²）
a²＋2ab＋b² ＝ (a＋b)²；a²−2ab＋b² ＝ (a−b)²
由來：和的平方、差的平方倒著讀：三項式裡頭尾都是平方、中間是 2ab，就是完全平方。
畫面：x²＋6x＋9：頭是 x²、尾是 3²、中間 6x 剛好是 2・x・3——三個條件全中，答案 (x＋3)²。
最常寫錯：只看頭尾是平方就下手，沒檢查中間項是不是 2ab。例如 x²＋6x＋8 尾巴 8 不是平方數，根本不是這一族。
挖空自測：x²−10x＋25 ＝ (x− □ )²，□ 是？
答案：5（25 是 5²，中間 −10x＝−2・x・5，符號也對）
直角三角形的三邊關係。記住一句話就好：斜邊永遠對著直角、永遠最長。
a²＋b² ＝ c²（a、b 是兩股，c 是斜邊）
由來：直角三角形兩股上的正方形面積加起來，剛好等於斜邊上的正方形面積。
畫面：3、4、5 是最有名的畢氏數：下課量教室牆角，3 公尺和 4 公尺的兩邊，斜量過去剛好 5 公尺。
最常寫錯：把最長邊認錯：c 必須是斜邊。如果題目給的斜邊是 5，你寫的 c 就要是 5，不能隨便挑一邊。
挖空自測：兩股 6、8，斜邊 c：c² ＝ 36＋ □，c ＝ 10
答案：64（6²＋8²＝100，c＝10）
a ＝ √(c²−b²)（已知斜邊與一股，求另一股）
由來：把畢氏定理移項：股的平方 ＝ 斜邊的平方「減」另一股的平方。
畫面：梯子長 5 公尺靠牆、梯腳離牆 3 公尺：高度² ＝ 25−9 ＝ 16，高度 4 公尺（思路房第 3 招的範例）。
最常寫錯：求股時用加法，答案會比斜邊還長——長度比斜邊大就是警訊，立刻檢查。
挖空自測：斜邊 13、一股 5，另一股² ＝ 169− □
答案：25（169−25＝144，另一股是 12）
配方法練熟之後的「自動版」：公式解是把配方法先算好給你用，條件是先認出 a、b、c。
ax²＋bx＋c ＝ 0 時，x ＝ [−b ± √(b²−4ac)] ÷ 2a
由來：對一般的 ax²＋bx＋c＝0 做一次配方法，就得到這條「萬用版」——所以它不是新東西，是配方法的成品。
畫面：像手遊的自動戰鬥：手動打（配方法）學會原理後，自動版幫你省時間，但裝備（a、b、c）要先認對。
最常寫錯：b 帶著負號時忘了變：方程式 x²−5x＋6＝0 的 b 是 −5，−b 是 5。還有分母 2a 是除以「整個」分子，不是只除根號。
挖空自測：x²＋6x＋5＝0：b²−4ac ＝ 36− □
答案：20（4×1×5＝20，判別式 16，x＝(−6±4)÷2＝−1 或 −5）
D ＝ b²−4ac：D＞0 兩根、D＝0 一根（重根）、D＜0 無實數解
由來：公式解根號裡的那一包就是判別式：根號裡是負的，實數世界裡就開不出來。
畫面：先看 D 再動手，像先看天氣預報再決定帶不帶傘：D＜0 就不用白忙，答案直接寫無實數解。
最常寫錯：4ac 的符號：c 是負數時，−4ac 會變加。例如 x²＋6x−5 的 D＝36−4×1×(−5)＝36＋20＝56。
挖空自測：x²＋6x＋9＝0 的 D ＝ 36−36 ＝ □，所以是重根
答案：0（x＝−3 重根，剛好是 (x＋3)²＝0）
數列兩兄弟：等差是「每次加一樣多」，等比是「每次乘一樣多」。先分清是哪一種，再選公式。
aₙ ＝ a₁＋(n−1)d（d 是公差）
由來：從第一項出發，要走 (n−1) 步才到第 n 項，每步加一個 d。
畫面：存零用錢：第一週存 3 元、每週多存 2 元，第 10 週存 3＋9×2＝21 元——注意是 9 步不是 10 步。
最常寫錯：把 (n−1) 寫成 n。第 1 項要代入檢查：n＝1 時應該回到 a₁，寫成 n 就會多加一個 d。
挖空自測：a₁＝3、d＝2，a₁₀ ＝ 3＋ □ ×2 ＝ 21
答案：9（n−1＝10−1）
Sₙ ＝ n(a₁＋aₙ) ÷ 2
由來：把數列正著寫一遍、倒著寫一遍上下相加，每一對都是 (a₁＋aₙ)，共有 n 對，再除以 2。
畫面：高斯小時候算 1＋2＋…＋100：首尾配對每對 101，共 50 對，答案 5050——就是這條公式。
最常寫錯：忘了除以 2。用零用錢例：前 10 週共存 10×(3＋21)÷2＝120 元；忘記除以 2 會變 240，多算一倍。
挖空自測：1＋2＋…＋10 ＝ 10×(1＋ □ )÷2 ＝ 55
答案：10（aₙ 是最後一項 10）
aₙ ＝ a₁ × rⁿ⁻¹（r 是公比）
由來：從第一項出發，走 (n−1) 步、每步乘一個 r，所以 r 的次方是 n−1。
畫面：手遊簽到獎勵翻倍：2、6、18、54 是每次乘 3，第 4 項 2×3³＝54。
最常寫錯：次方寫成 n。用 n＝1 檢查：第 1 項應該是 a₁ 本人，次方要是 0，所以是 n−1。
挖空自測：a₁＝2、r＝3，a₄ ＝ 2×3^ □ ＝ 54
答案：3（n−1＝4−1）
Sₙ ＝ a₁(rⁿ−1) ÷ (r−1)（條件：r ≠ 1）
由來：把總和乘以 r 再和原式相減，中間項全部抵消，只剩頭尾——又是「抵消」的老招。
畫面：2＋6＋18＋54：代公式 2×(3⁴−1)÷(3−1)＝2×80÷2＝80，和一項一項加的結果一樣。
最常寫錯：r＝1 時不能用這條（分母會變 0）：r＝1 就是每項都一樣，直接 a₁×n 就好。這是本公式的例外，務必記住。
挖空自測：2＋6＋18＋54 中，rⁿ 的 n 是項數 □
答案：4（共 4 項，3⁴＝81）
圓的公式都從半徑 r 出發；扇形就是「圓的一部分」，先算佔了幾分之幾，再乘整個圓。
C ＝ 2πr（r 是半徑）
由來：圓周長除以直徑永遠是 π，所以周長 ＝ π × 直徑 ＝ π × 2r。
畫面：披薩店的圍邊：半徑 6 公分的個人披薩，邊長 12π 公分（約 37.7 公分）。
最常寫錯：把直徑當半徑：題目給直徑 12，r 是 6，不是 12。先除以 2 再代公式。
挖空自測：r＝6，C ＝ 2π× □ ＝ 12π
答案：6
A ＝ πr²
由來：把圓切成很多小扇形再拼成長方形，長是半圓周 πr、寬是 r，相乘就是 πr²。
畫面：同樣半徑 6 的披薩，面積 36π（約 113.1 平方公分）——是周長數字的 3 倍，單位是平方，別混。
最常寫錯：把 r² 寫成 2r：r＝6 時 r² 是 36、2r 只有 12。看到平方就要真的乘兩次。
挖空自測：r＝6，A ＝ π× □ ＝ 36π
答案：36（6²）
弧長 ＝ (θ÷360) × 2πr（θ 是圓心角的度數）
由來：弧是圓周的一部分：先算這個扇形佔全圓的 θ/360，再乘整個圓周長。
畫面：時鐘分針走 60 度（10 分鐘）掃過的弧：先想「佔全圓的六分之一」，再乘周長。
最常寫錯：把比例寫反或忘記乘周長。r＝6、θ＝60：(60÷360)×12π＝2π，不是 12π÷60。
挖空自測：r＝6、θ＝60，弧長 ＝ (1/6)× □ π ＝ 2π
答案：12（全周長 12π 的六分之一）
扇形面積 ＝ (θ÷360) × πr²
由來：和弧長同一招：佔全圓的比例，乘整個圓面積。
畫面：一片 60 度的披薩（六分之一塊）：面積是整個的六分之一，36π÷6＝6π。
最常寫錯：和弧長搞混：弧長乘的是周長（2πr）、扇形面積乘的是面積（πr²）。先分清問的是「邊」還是「面」。
挖空自測：r＝6、θ＝60，扇形面積 ＝ (1/6)× □ π ＝ 6π
答案：36（全圓面積 36π 的六分之一）
生活裡最常用的一族：調飲料、打折、看地圖都靠它。核心只有一句——對應的量，倍率要一致。
a：b ＝ c：d 時，ad ＝ bc（外項積 ＝ 內項積）
由來：兩個比相等，就是兩個分數相等；把分母交叉乘過去，就是 ad＝bc。
畫面：調飲料：糖和水 3：5，想泡 20 份水要幾份糖？3：5＝x：20，5x＝60，x＝12。
最常寫錯：對應位置寫反：影子問題裡「高對高、影對影」，位置對調答案就倒過來（思路房第 4 招）。
挖空自測：3：5 ＝ x：20，5x ＝ 3× □ ＝ 60
答案：20
部分 ＝ 全部 × 百分率；百分率 ＝ 部分 ÷ 全部
由來：百分率就是「每一百份裡占幾份」：把分母換成 100 來看大小。
畫面：社團 80 人、出席率 25%：出席 80×25%＝20 人。先想「四分之一」，數字就有感覺了。
最常寫錯：25% 直接乘 25 而不是 0.25。百分率進計算前，先變成小數或分數。
挖空自測：80 的 25% ＝ 80× □ ＝ 20
答案：0.25（或 1/4）
售價 ＝ 定價 × 折數 ÷ 10（七折就是 ×0.7）
由來：「幾折」就是原價的十分之幾：七折 ＝ 原價的 7/10。
畫面：點心定價 350 元打七折：350×0.7＝245 元，省下 105 元——省下的部分是 3 折，不是 7 折。
最常寫錯：把「打七折」算成「減 70%」。七折是付 70%、省 30%；「減 70%」是三折，兩回事。
挖空自測：定價 350 元打七折，售價 ＝ 350× □ ＝ 245
答案：0.7（即 7/10）
青出於藍